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数学向学生传达的是一种模型思想，数学模型源自原型，又高于原型。课堂教学中，教师要引导学生充分经历从数学原型到数学模型的知识创造过程，消除数学原型的对概念和知识的学习干扰，深化对数学的理解。《乘法分配律》是四年级的学习内容，徐伟国老师组织三年级学生学习。本科是数的运算律的教学，关键是如何实现从数学原型到数学模型的建构。

一、以生活情境导入，但要讲究合理性。

教者首先创设生活化情境：老师的朋友开了一个小公司，5个员工每人买一套工作服。接着图文出示三件上衣和两条裤子，上衣售价分别是：250元、200元、150元，裤子售价分别是100元和150元。口头问题是：有几种搭配方案，选择一两种方案算出总价。然后再具体出示探究要求：1.有几种搭配方案？2.你向老板推荐哪一种，算出总价。3.组内交流，有哪几种方案，你是怎么算的，说说理由。

徐老师创设的情境可谓贴近生活，首先让学生学会搭配（这本是四年级学习的“找规律”知识，对于三年级的学生是有一些难度的），采用搭配的方式让学生自主选择，为问题的探究提供了相应的信息，然后计算总价，最后说理由。让学生从买衣服的角度来计算服装的总价，很容易想到两种不同的方法，确立数学原型。

我起初也佩服徐老师的这一设计，似乎无可挑剔，但仔细分析，这一情境未必合理，因为他忽略了一个重要的基本常识——一套工作服一般都是颜色一致的，而不是随意选择颜色或面料可以配套的。所以，此虚拟的生活化情境缺乏真实性和合理性，纯粹是老师一厢情愿地为解决问题而编造的。

二、在探究中发现规律，但要加强合适的引导。

片段一：学生探究后，交流中回答出六种方案。

生1：我选择最贵的，250+150=400元，400×5=2000元。

师写成（250+150）×5，师：你选择的理由是——

生1：让他们穿上好衣服，认真工作。

师：给他们选择质量好点的衣服，贵一点，员工就会努力工作。250+150是什么意思？

生1：250+150是一套服装的价钱，5套就乘以5。

师：你是一套套买的。还是这个方案，还可以怎样算？

生2：250×5+150×5。

师：他是怎样算的？

生3：先算5件上衣，再算5条裤子。

师：两种算法一样吗？为什么？

学生难以回答。

师：都是算的总价，都是2000元，所以中间可用“=”，即（250+150）×5=250×5+150×5。

师：还有其他方案吗？

生4：买便宜点的，工资可多发一点。（150+100）×5。

师：谁能将等号后面的尽快写出来？

生5：150×5+100×5。

……

评析：当第一位学生说出“250+150=400元”时，徐教师没有写成分步算式，而是急切地在250+150上加上小括号，改成综合式。三年级学生对于综合式了解不多，教师为了本知识的教学，只能强行直接写综合式。我觉得应该先尊重学生写下分步式，然后再帮助学生改写成综合算式更好些。学生所谈及的选择理由很好，体现了孩子们的成熟和老练，除了以上提到的，还有“衣服和裤子颜色接近，好看一些”，“衣服好点，裤子差点，光滑的弄脏了可以擦掉”。老师的及时鼓励和评价也很到位。但我不明白：老师设计该问题的初衷是什么，既然学生能想到选择时要考虑颜色接近，你为何想不到？而且也不应该设计选择哪一套服装的理由，而应该是列算式的理由，这样才能帮助学生理解不同的算法，可以得出相同的结果，并以此类推，帮助确立数学原型。等学生说出四种方案后，最后两种是老师带着学生写下的，因为学生也有些混淆。

片段二：老师接着引导学生观察，发现“左边的算式是一套套买的，右边的算式是上衣归上衣买，裤子归裤子买”。然后要求学生写三个相等的算式，并且要求回答“你是怎么来说明你写的算式左右两边是相等的？”

生1：（300＋100）×5=300×3＋100×3。

生2：（60＋150）×6=60×6＋150×6。

师：为什么这样算相等呢？

生3：60＋150是一套的数量之和……

师：又回到买衣服上去了……

生4：（略）。

师：还是用衣服和裤子来解释，如果买课桌和椅子，可以吗?买其他东西呢？

师：60×6可看作60个6，150×6看作150个6，它们合起来是多少个6？

生齐：210个6。

师：（60＋150）×6也是多少个6？

生齐：210个6。

师：像这样的算式写得完吗？能否用一个算式表示所有的算式？

生1：（a＋b）×c=a×c＋b×c。

生2：（x＋z）×a=x×c＋z×a。

师：你们不约而同地想到了什么？

生齐：未知数。

师：字母，用字母可以代表任何数。

……

评析：这是一个典型的将数学原型逐步抽象为数学模型的过程，但徐老师的问题设计似乎不太科学。引导观察时，就不该仅仅停留在上衣和裤子上，而应该探寻到一组算式中，左右两边式子的一些特点，然后改问题为“你能否仿照这六组算式的特点，尝试着写出三组算式，并且通过计算，看看每组算式是否真的相等”。在交流时，让学生“怎么来说明你写的算式左右两边是相等的”这太难啦！刚才发现的规律是买衣服的，学生当然只能“又回到买衣服上去了”。以至于最后老师只能对学生说“还可以买其他东西”。因为教师的引导不到位，学生的思维仍然停留在数学原型——买衣服上，老师没有帮助他们抽象出一般算式。除了数学原型外，用来解释乘法分配律最好的办法当然是“乘法的意义”——几个几，徐老师也做到了，但显得晚了些，而且应该引导学生说一说自己写下的等式，帮助他们逐步建立模型，而不是等到学生实在无法说明时才将这一科学的说法传授给他们。以至于来不及再次举例验证，就让学生“用一个算式表示所有的算式”，太玄乎了吧？而学生居然能准确地说出“标准答案”，让人吃惊！我觉得老师至少应提示“用简洁的方式表示这个规律”，甚至暗示“可以用图形、符号等”。如果学生没有提前预习，或本班数学老师没有提前向学生作些说明，这个问题是难以解决的。

三、追求练习的层次性，但要贴近学生的学情。

徐老师设计了两组练习，都相当好。既有针对性又体现层次性，同时还拓宽了学生的认知面。

第一组是填空题：

（15＋20）×12=□×12＋□×12

25×（4＋9）=□×4＋□×9

8×（10＋5）=□×□＋□×□

75×24=75×□＋75×□

最后一题，生1：75×12＋75×12，把24分成两份。

生2：75×4＋75×6。

师：这样对不对？错在哪里？

生3：这样就成了75×（4＋6）。

生4：24分成两份，而不是4份和6份。

生5：还可以75×24＋75×0。

师：这当然是对的，因为75×0=0。那这道题有没有很多答案？

生：（不知所措）

师：老师也来说两个，75×1＋75×23，75×20＋75×4，可以吗？

生6：75×1＋75×23，我认为是错的，75×1=75，75×23是75个23，没有75个24。

生7：是对的，75×1是1个75，75×23是23个75，一共是24个75.

师：其实我们填写时只要看格子，24可以看成0+几？1+几？2+几？如果是小数，就有无限多个填法。

评析：本题的设计确实有新意，既有开放性，又注重培养学生的创新思维，渗透极限思想。但是，这节课面对的是三年级的学生，他们的知识储备和思维水平，尚达不到学习该知识的要求，因为前面解释几个几理解不透彻，以至于学生难以思考出更多答案。尽管顺利教完了，估计但大部分学生对最后一题还是难以理解的。

第二组是连线题：

48×12＋52×12                    15×18＋26×18

（15＋18）×26                    25×40＋25×4

25×（40＋4）                    （48＋52）×12

14×（45-5）                      11×4＋25×4

（11×25）×4                     14×45-14×5

评析：让学生在辨析中加强对乘法分配律的理解无可厚非，但此时下课铃声已经响起，顾连14×（45-5）和14×45-14×5是否真能连线，学生也来不及计算，仅凭老师一言堂定夺：“它们是相等的，也可以用几个几来思考，乘法分配律中出现减法也是可以的。”（11×25）×4学生说到“括号里是乘法而不是加法”。如此复杂多变的练习，让三年级学生在一节课内如何理解和掌握？

四、总结关注数学思想方法，但缺乏对模型的建构和提升。

徐老师课堂总结的两问很好：这节课我们学习了什么？是怎么学的？既要求学生从数学知识的角度来回答，更让学生主动回顾本课的学习过程，来把握数学学习的一般规律。

师：我们从买衣服中发现了一组组算式，再去写一些算式，去解释它们为什么相等，以后研究数学也可以这样，先发现现象，再去想办法解释，得到一个规律，并且用规律做一些练习。

评析：徐老师不仅教知识，更注重数学思想方法的渗透，高瞻远瞩。但是，其“解释方法”学生是否都学会了？课堂上没有足够的时间让学生一起来用“几个几分析和说明”，学生的思维容易停留在“买衣服”上，他们的头脑中尚未真正建构乘法分配律的数学模型。最后教师也没有再提及用字母或文字表示的乘法分配律。如果回家后家长问孩子，你们今天学习了什么？也许有的孩子会记得“乘法分配律”，也许有些孩子就只记得“买衣服”了。一节课直至结束，学生的思维仍然停留在原型上，这难道不是教学的悲哀？